Welcome

Loook Notes

Musik Blog

Letzte Aktualisierung: 08.10.2012

Zwei neues Posts:
»Harmonie 04 - Reine Intervalle« und
»Harmonie 05 - Gleichstufige Intervalle«

In diesem Blog möchte ich allen, die es interessiert, verschiedene musikalische Themen nahebringen. Ich habe das Blog gerade erst begonnen, werde aber die Themen weiter fortsetzen. Es würde mich freuen, wenn es Euch gefällt und vielleicht auch ein bisschen musikalisch weiter bringt.

Wähle ein Thema in der Menüleiste...

Verantwortlich für den Inhalt: Frank Svoboda • mail@loook.de
Keine Haftung für externe Links, für deren Inhalte sind ausschließlich deren Betreiber verantwortlich.
Die Inhalte dieses Blogs unterliegen deutschen Urheber- und Verwertungsrechten.
Copyright © 2012, Frank Svoboda

Harmonie #05 - Gleichstufige Intervalle

Dies ist der zweite Teil des Themas »Intervalle«. Den ersten Teil findest du in Post #04.

Tonleitern

Passen wir nun unsere Dur- und Moll-Tonleitern in das System der reinen Stimmung ein. Bei (J) kannst du an der C-Dur- und C-Moll-Tonleiter sehen, wie groß die einzelnen Schritte von Ton zu Ton in den Tonleitern sind. Es fällt auf, dass die chromatiaschen Halbtonschritte verschwunden sind. Stattdessen gibt es jetzt zwei verschieden große »Ganztöne«. Jeder von ihnen besteht aus dem diatonischen Halbton (der kleinen Sekunde) und einem der beiden chromatischen Halbtöne.

In diesen den Tonleitern gibt es also jetzt:

• 3 große Ganttöne (GGT, orange): C-D, F-G und A-H;
• 2 kleine Ganztöne (KGT, grün): D-E und G-A;
• 2 diatonische Halböne (große Halbtöne, GHT, hellblau): E-F und H-C.

Nur die Reihenfolge ist bei Dur und Moll verschieden.

Rein oder nicht rein, das ist hier die Frage

Das Problem mit der reinen Stimmung fällt auf, wenn man Akkorde spielt. »Akkorde« heißt es, wenn man mehrere Töne zusammen spielt. Unter den Akkorden gibt es besondere, die man »Dreiklänge« nennt. Sie bestehen aus einer großen und einer kleinen Terz, beim C-Dur-Dreiklang ist das C-E-G. Bei C-Moll ist es umgekehrt, hier kommt die kleine Terz zuerst: C-Es-G. Diese Dreiklänge empfinden wir als besonders wohlklingend. Bei (J) sind die Töne der Dreiklänge mit blauen Strichen gekennzeichnet.

Nehmen wir jetzt einmal unser in C-Dur rein gestimmtes Instrument und spielen darauf einen D-Moll-Dreiklang, D-F-A. Bei (K) kannst du sehen, was passiert. Der Grundton ist D (blauer Strich). Wenn wir von da aus unsere Ganz- und Halbtöne nach dem Muster von C-Moll einzeichnen, stimmen die Töne F und A nicht mehr genau (violette Striche). Das ist auch deutlich hörbar – insbesondere bei A, das die Quinte zu D ist –, weil unser Ohr für Quinten besonders empfindlich ist. Auch einige andere Intervalle treffen, von D aus gerechnet, die Töne nicht genau (graue Striche), z.B. ist die große Sekunde von D nach E ein kleiner Ganzton statt ein großer.

Als weiters Beispiel habe ich bei (K) auch den E-Dur-Dreiklang eingetragen. Hier stimmt zwar die Quinte E-H (blau), aber Gis (violett), die große Terz zu E, stimmt ganz und gar nicht. Gis kommt nämlich gar nicht vor (wie wir bereits bei (I) in Post #04 gesehen haben) und wir müssten stattdessen ein As spielen.

Die folgende Akkordfolge enthält mehrere Akkorde, die unrein klingen, darunter auch das angesprochene
D-Moll und E-Dur.

         Akkordfolge mit unreinen Akkorden

Pythagoras und der Wolf

Es gibt noch ein weiteres Problem mit der reinen Stimmung. Bereits Pythagoras (570–510 v.Chr.) kannte es. Er stimmte von C ausgehend alle Quinten rein. Nach 12 Quinten müsste man eingentlich wieder am C ankommen, nur 7 Oktaven höher. Das kannst du am Klavier nachvollziehen: C-G-D-A-E-H-F#-C#-G#-Eb-Bb-F-C.

Aber rechnen wir nach:
12 Quinten: 12 · 702 Cent = 8424 Cent
7 Oktaven:  7 · 1200 Cent = 8400 Cent

Das stimmt also nicht genau. Es gibt einen Unterschied von ca. 24 Cent, den man »pythagoreisches Komma« nennt. Pythagoras' Lösung war, die Quinte zwischen Gis und Es kleiner zu machen, damit es passt. Damit sind 11 von 12 Quinten rein, aber eine klingt so schief, dass man sie »Wolfsquinte« nennt (so wie ein Wolf heult).

         Vergleich reine Quinte und Wolfsquinte

Die temperierte Stimmung

Dass sich nicht alle Akkorde rein spielen lassen, ist ein großes Problem der reinen Stimmung. Man hat viele unterschiedliche Versuche unternommen, diesem Problem Herr zu werden. Ein gewisser Anreas Werckmeister und auch Andere haben im 17. Jahrhundert dazu zahlreiche Vorschläge gemacht. Ziel war es eine Stimmung zu finden, die von der reinen Stimmung nur so weit abweicht, dass unser Ohr sie noch als wohlklingend empfindet. Insbesondere die Quinten, Quarten und Terzen sollten so genau wie möglich sein.

So entwickelten sich die sogenannte »mitteltönige Stimmung«, verschiedene »Werckmeister Stimmungen« und etliche andere. Hier auf deren Details einzugehen würde allerdings den Rahmen sprengen (bei Interesse: Wikipedia). Eines ist ihnen allerdings gemein: Es lassen sich immer nur bestimmte Tonarten (fast) rein spielen oder sie klingen doch nicht rein genug - zumindest für die damaligen Musiker-Ohren.

Andererseits war es damals auch durchaus erwünscht, dass verschiedene Tonarten einen unterschiedlichen Klang-Charakter hatten. Ein C-Dur klang auf dem selben Instrument z.B. ganz anders als ein E-Dur – nicht nur bezüglich der Tonhöhe, sondern weil die Intervalle nicht genau übereinstimmten. Dennoch schränkte es den Rahmen der musikalischen Möglichkeiten stark ein, nicht alle Tonarten auf dem selben Instrument spielen zu können (ohne umzustimmen). So suchten man nach einer anderen Lösung.

Die gleichstufige Stimmung

Diese Lösung gab es bereits. Schon im 16. Jahrhundert wurden Lauten (die Vorläufer der Gitarren) oft so gestimmt, dass alle Halbtöne den gleichen Abstand hatten. Aber erst im 18. Jahrhundert, zu Bachs Zeiten, konnte sich diese Stimmung durchsetzen.

Bach schrieb damals ein Klavierwerk, das aus je einem Stück für jede Dur- und Moll-Tonart besteht: »Das wohltemperierte Klavier«. Diese Stücke ohne Umstimmen auf dem gleichen Instrument zu spielen, war nur möglich, wenn man es gleichstufig stimmte. Obwohl Bach »Das wohltemperierte Klavier« eigentlich gar nicht dafür geschrieben hatte, wird ihm die Popularität und Verbreitung der gleichstufigen Stimmung zugeschrieben. Man weiß aber noch nicht einmal genau, ob Bach wirklich die gleichstufige Stimmung benutzte, denn diese ist nur ein Spezialfall unter den temperierten Stimmungen.

Wie funktioniert die gleichstufige Stimmung denn nun eigentlich? Der Grundgedanke ist, die Oktave einfach in 12 gleiche Halbtöne zu teilen. Damit sind zwar alle Intervalle außer der Oktave nicht mehr rein, aber sie sind nur soviel verstimmt, dass man es tolerieren kann.

Bei (L) ist das im Diagramm veranschaulicht. Hier ist wieder der C-Dur- und C-Moll-Dreiklang blau und violett hervorgehoben. Man sieht, das die Quinte (blau) bis auf 2 Cent genau stimmt. Diese Abweichung ist so gut wie nicht mehr hörbar. Die Abweichung ist bei der Terz allerdings wesentlich größer. So klingt eine Terz in der gleichstufigen Stimmung nicht mehr wirklich rein, sondern man hört eine Schwebung (sh. Post #03). Das nimmt man allerdings dafür in Kauf, dass jetzt alle Tonarten ohne Umstimmen gespielt werden können.

Und nicht nur das! Alle Intervalle klingen überall gleich, egal von welchem Ton aus sie gespielt werden. Erinnern wir uns an das Beispiel (K) im Diagramm: Dort war die Quinte D-A »schief«, die Quinte C-G aber rein.

Und noch etwas: Durch die gleichstufige Stimmung fallen die erhöhten und erniedrigten Töne zusammen. Es gibt also nun keinen Unterschied mehr zwischen Cis und Des, Dis und Es usw. Das E-Dur aus dem Beispiel (K) klingt jetzt also genauso wie das C-Dur – außer dass es höher ist.

Jedes Intervall ist jetzt also überall gleich verstimmt, egal wo man es spielt. Hier noch einmal die Akkordfolge von oben – jetzt in gleichstufiger Stimmung:

         Akkordfolge in gleichstufiger Stimmung

Die Intervalle

Die nachfolgenden Hörbeispiele sind folgendermaßen aufgebaut:

1. Intervall in reiner Stimmung (Sägezahn-Welle)
2. Intervall in gleichstufiger Stimmung (Sägezahl-Welle)
3. Intervall in reiner Stimmung (Klavier-Sound)
4. Intervall in gleichstufiger Stimmung (Klavier-Sound)

Der Unterschied ist beim Klavier-Sound viel weniger hörbar, weil der Klavierklang selbst bereits Schwebungen besitzt, die die Schwebungen durch die Verstimmung teilweise überdecken.

Prime
Rein, ist ja der selbe Ton.

Kleine Sekunde
Hörbar verstimmt, da sie aber sowieso bereits recht dissonant klingt, fällt das nicht sehr ins Gewicht.

Große Sekunde
Fast rein, nur 4 Cent zu klein, Abweichung kaum hörbar.

Kleine Terz
Hörbar zu klein, aber gerade noch wohlklingend.

Große Terz
Hörbar zu groß, aber gerade noch wohlklingend.

Quarte
Fast rein, nur 2 Cent zu groß, Abweichung höchstens durch Schwebung hörbar.

Tritonus
Klingt sowieso schon so dissonant, dass die Abweichung nicht auffällt.

Quinte
Fast rein, nur 2 Cent zu klein, Abweichung höchstens durch Schwebung hörbar.

Kleine Sexte
Hörbar zu klein, aber gerade noch wohlklingend.

Große Sexte
Hörbar zu groß, aber gerade noch wohlklingend.

Kleine Septime
Fast rein, nur 4 Cent zu groß, Abweichung kaum hörbar.

Große Septime
Hörbar verstimmt, da sie aber sowieso bereits recht dissonant klingt, fällt das nicht sehr ins Gewicht.

Oktave
Rein.

Jedes Interval hat dabei eine typische Schwebung, die durch den Grad der Abweichung von den reinen Obertönen entsteht. Deshalb nennt man die gleichstufige Stimmung auch oft »gleichschwebende Stimmung«.

• Prime, große Sekunde, Quarte, Quinte, kleine Septime, Oktave:
  keine oder fast keine Schwebung.
• kleine und große Terz, kleine und große Sexte:
  hörbare, aber durchaus angenehm klingende Schwebung.
• kleine Sekunde, Tritonus, große Septime:
  starke Schwebung, die man als Reibung empfindet.

Unabhängig davon ordnet man die Intervalle oft nach dem Grad des empfundenen Wohlklingens in die folgenden drei Gruppen (wobei die ersten beiden auch manchmal als »konsonant« zusammengefasst werden):

• Reine Intervalle:
  Prime, Quarte, Quinte, Oktave
  klingen zwar rein, aber auch irgendwie leer oder hohl.
• Konsonante Intervalle:
  kleine und große Terz, kleine und große Sexte
  wohlklingend, in gleichstufiger Stimmung mit angenehmer leichter Schwebung.
• Dissonante Intervalle:
  kleine und große Sekunde, Tritonus, kleine und große Septime
  nicht wohlklingend, sich reibend.

Diese Einteilung ist allerdings sehr subjektiv und von den Hörgewohnheiten abhängig. Es hat z.B. sogar einmal eine Zeit gegeben, wo bereits die Quarte als dissonant angesehen wurde. Andererseits können sich auch Sekunden, Tritonus und Septimen durchaus angenehm anhören, je nach dem, in welchem Zusammenhang sie erklingen. Außerdem kommt es auch auf den Klang des Instruments an, welche Intervalle man als wohlklingend empfindet. Das hängt nämlich auch davon ab, wie obertonreich die Klänge sind (sh. Post #03). Obwohl diese Einteilung sehr gebräuchlich ist, halte ich deshalb persönlich nicht besonders viel davon.

Alles wird leichter

Viele Musiker haben damals große Kritik geübt, als sich die gleichstufige Stimmung verbreitete, denn der Charakter der verschiedenen Tonarten ist dabei verloren gegangen. Bei Gebrauch der reinen Stimmung hörten sich Stücke nämlich ganz anders an, wenn man sie in einer anderen Tonart spielte (manchmal auch fürchterlich schief). Das wird durch die leichten (oder weniger leichten) Verstimmungen verursacht, wenn man andere Tonarten spielt, als die in der das Instrument gestimmt wurde.

In der gleichstufigen Stimmung klingt es dem gegenüber immer gleich, nur die Tonhöhe ändert sich. Die leichte Verstimmung in der gleichstufigen Stimmung ist in jeder Tonart gleich.

Andererseit haben die Vorteile wohl überwogen, insbesondere auch dadurch, dass die erniedrigten und erhöhten Töne bei der gleichstufigen Stimmung zusammen fallen. Das nennt man »enharmonische Verwechslung«. So lassen sich alle Tonarten auf dem selben Instrument spielen. Es sind sogar doppelte Erniedrigungen und Erhöhungen möglich. Das braucht man manchmal in einigen Tonleitern. Man hängt bei dopplter Ernierigung dann noch ein »es« an den Namen an, bei doppelter Erhöhung ein weiteres »is«. (Beachte aber, dass es »Heses« heißt und nicht etwa »Bes« und dass es auch kein »Bis« gibt.)

Alles in allem ist es mit der gleichstufigen Stimmung erheblich leichter, ein Tasteninstrument zu spielen. So ist heute die gleichstufige Stimmung sozusagen Standard.

Intervalle hören

Es ist überaus wichtig für dich zu lernen, Intervalle zu hören und zu bestimmen. Es gibt Menschen, die ein sogenanntes »absolutes Gehör« haben – ungefähr jeder zehnte hat es – und man kann es anscheinend nicht erlernen. Sie können, wenn sie einen Ton hören, sofort sagen, ob es ein C oder ein D ist (wenn sie Musiker sind). Die anderen Menschen benötigen einen Ausgangston, den sie kennen, um anhand dessen einen anderen Ton am Intervall zu bestimmen. Absolutes Gehör hilft natürlich ein bisschen, ist aber keinesfalls notwendig, um Intervalle erkennen zu können. Absolutes Gehör hat übrigens auch nichts damit zu tun, ob man ein guter Musiker ist oder nicht.

Intervalle kann man erlernen. Und um sie zu lernen, merkt man sich am besten zu jedem den Anfang eines bekannten Lieds. Beispielsweise »Alle meine Entchen« für die große Sekunde, »Wachet auf, wachet auf« für die große Terz. Mache dir am besten eine eigene Liste. Spiele ein Intervall auf deinem Instrument, überlege welcher Song oder welche Melodie dir dazu einfällt, und merke es dir in der Liste. Lerne deine Liste auswendig – es sind nur 11 Songs, die Prime und die Oktave brauchst du wohl nicht, die hört man auch so schon. Bestimme außerdem ganz bewusst Intervalle in Liedern und probiere auch, Intervalle zu singen. Nach einiger Zeit wirst du Intervalle dann auch direkt erkennen können.

Zum Schluss hier noch ein Hörbeispiel, das ich im  Internet gefunden habe. Es ist der alte Choral »Wer nur den lieben Gott lässt walten«, einmal in reiner und einmal in gleichstufiger Stimmung gespielt:

   Choral in reiner Stimmung

   Choral in gleichstufiger Stimmung


Mit den bisherigen Posts haben wir die Grundlagen für die Harmonielehre erarbeitet. Manches mag dir vielleicht als nicht besonders wichtig erscheinen und du wartest auf mehr praktische Anwendungen. Ich finde jedoch, dass ein Musiker wissen sollte, was es eigentlich ist, was sie oder er da macht. Darum habe ich in den Grundlagen auch ein bisschen weiter ausgeholt und versucht zu vermitteln, welche Gesetzmäßigkeiten dahinter stehen und wie sich das Ganze entwickelt hat. Einiges davon werden wir nicht mehr weiter vertiefen. So wirst du hier z.B. nicht mehr viel über die reine Stimmung erfahren, denn wir werden uns in Zukunft auf die gleichstufige Stimmung beziehen.

Im nächsten Post werden wir mit Akkorden beginnen. Das kannst du dann auch direkt auf deinem Instrument umsetzen. Physik wird jedenfalls kaum noch ein Thema sein. Um ein bisschen Mathematik werden wir allerdings auch in Zukunft nicht herum kommen. Aber komplizierter als das Tortenteilen wird es nicht mehr.

Harmonie #04 - Reine Intervalle

Kommen wir heute zu den Intervallen. Da dieses Thema recht umfangreich geworden ist, habe ich es in zwei Posts aufgeteilt. Das erste behandelt, von den Obertönen ausgehend, die Entwicklung der reinen Intervalle, das zweite Post die Entwicklung der gleichstufigen Stimmung und deren Bedeutung für die Intervalle.

Unter Intervallen versteht man den Abstand zweier Töne von einander. Sie sind die Grundbausteine der Harmonik. Sie entscheiden darüber wie harmonisch (»konsonant«) oder unharmonisch (»dissonant«) zwei Töne zusammen klingen. Hier in der Abbildung sind die Intervalle auf den Ton C (gelb) bezogen, weil man die Zusammenhänge so am besten sehen kann. Intervalle lassen sich natürlich auch von jedem anderen Ton aus messen.

Stufen der Tonleiter

In der Abbildung erkennt man, woher die Intervalle ihre Namen haben. Sie sind nämlich von den Stufen der Tonleiter hergeleitet. Die Stufen einer Tonleiter kennzeichnet man oft mit römischen Zahlen, so auch hier. Bei der ersten Stufe, der »Prime« (lat. prima: die Erste), ist der Abstand der beiden Töne null (folglich klingen bei der Prime keine zwei verschiedenen Töne zusammen). Die »Sekunde« (lat. secunda, die Zweite) kennzeichnet den Abstand von der ersten zur zweiten Stufe, die »Terz« (lat. tertia: die Dritte) den zur dritten Stufe usw. bis zur »Oktave« (lat. octava, die Achte). Größere Intervalle haben nur noch vereinzelt einen eigenen Namen, wie z.B. »Dezime« (lat. decima: die Zehnte).

Es ist dir wahrscheinlich schon aufgefallen, dass es von manchen Intervallen »große« und »kleine« gibt, z.B. bei der Terz. Bei anderen Intervallen, z.B. der Quinte, gibt es das nicht. Das liegt daran, dass bei Dur- und Moll-Tonleitern die Abstände der Stufen unterschiedlich sind. Bei Dur-Tonleitern gibt es die »große Terz« C–E, bei Moll-Tonleitern die »kleine Terz« C–Es. In einer Dur- oder Moll-Tonleiter kommt jede Stufe nur ein Mal vor, entweder als großes oder als kleines Intervall.

Einige Stufen unterscheiden sich aber nicht zwischen Dur- und Moll-Tonleitern. Das sind die Prime (ist ja logisch), die Quarte, die Quinte und die Oktave. Deshalb gibt es von denen keine große und kleine Version.

Eine Besonderheit stellt der »Tritonus« zwischen der IV. und V. Stufe dar. Er kommt als Tonleiter-Stufe in keiner Dur- und Moll-Tonleiter vor (wohl gemerkt: als Stufe bezogen auf den Grundton, hier C; als Intervall kommt er doch vor, z.B. zwischen F und H der Dur-Tonleiter). Deshalb heißt er auch nicht »kleine Quinte« oder »große Quarte« (Quinte und Quarte gibt es ja schon in der Tonleiter). Je nach musikalischem Zusammenhang nennt man dieses Intervall stattdessen auch »verminderte Quinte« oder »übermäßige Quarte«.

Wie du in der Abbildung siehst, misst man Intervalle nicht nur nach oben, zu den höheren Tönen hin. Man kann natürlich ebenso gut nach unten messen – allerdings stimmen dann die Namen der Intervalle nicht mehr mit den Tonleiterstufen überein.

Halbtonschritte

In der Praxis messen wir die Abstände zweier Töne auch oft in Halbtonschritten – abgekürzt »HT«. Die große Terz C–E hat beispielsweise eine Abstand von 4 Halbtonschritten – nicht etwa 3 HT, wie der Name Terz vermuten lässt – und auch nicht 3 Stufen, denn E ist zwar die 3. Stufe der C-Dur-Tonleiter hat aber einen Abstand von 3–1=2 Stufen. Man kann also vom Namen des Intervalls nicht auf den Abstand in Halbtonschritten schließen, man muss es sich einfach merken.

Eine Oktave hat einen Abstand von 12 Halbtonschritten. Das ist dann auch der Abstand zwischen dem ersten und dem letzten Ton der Tonleiter. Die Halbtonschritt-Größen der verschiedenen Intervalle kannst du der Abbildung entnehmen. Ich möchte nochmals betonen, dass sich die Namen der Intervalle zwar aus den Stufen der Tonleiter entwickelt haben, aber Intervalle nicht an die Stufen einer Tonleiter gebunden sind. Sie lassen sich zwischen beliebigen Tönen messen und angeben.

Was macht das in Cent?

Bei der heute üblichen »gleichstufigen Stimmung« ist jeder Halbtonschritt gleich groß. Manchmal ist ein Halbtonschritt aber eine zu grobe Einteilung. In einer »reinen« Stimmung sind die Halbtonschritte beispielsweise nicht gleich groß und man möchte auch dort die Größe eines Intervalls genau angeben können. Zu diesem Zweck hat man die Einheit »Cent« eingeführt – abgekürzt »¢«, »c« oder »C« (kommt von lat. centum: hundert). Man teilt eine Oktave in genau 1200 Cent. (Eine Okave ist also sozusagen 12 Euro wert.) Damit hat ein Halbton der gleichstufigen Stimmung genau 100 Cent, denn:

1200 Cent : 12 HT = 100 Cent pro HT

Die Abkürzung »HT« verwende ich in diesen Posts nur dann, wenn es sich um einen Halbton der gleichstufigen Stimmung handelt. Bei mir ist also immer 1 HT = 100 Cent. Das ist aber keine allgemeine Festlegung, an die sich alle halten.

Hier nochmals die Intervalle der gleichstufigen Stimmung in tabellarischer Form:

Prime	=	0 HT	=	0 Cent
kleine Sekunde	=	1 HT	=	100 Cent
große Sekunde	=	2 HT	=	200 Cent
kleine Terz	=	3 HT	=	300 Cent
große Terz	=	4 HT	=	400 Cent
Quarte	=	5 HT	=	500 Cent
Tritonus	=	6 HT	=	600 Cent
Quinte	=	7 HT	=	700 Cent
kleine Sexte	=	8 HT	=	800 Cent
große Sexte	=	9 HT	=	900 Cent
kleine Septime	=	10 HT	=	1000 Cent
große Septime	=	11 HT	=	1100 Cent
Oktave	=	12 HT	=	1200 Cent

Ich hatte gesagt, dass wir die Physik einstweilen hinter uns lassen. Aber das ist jetzt ja Mathematik und Musik hat viel mit Mathematik zu tun. Wir werden also auch in Zukunft nicht ganz ums Rechnen herum kommen. Hier – für diejenigen, die es interessiert – also noch ein bisschen Mathe:

---

Wir hatte ja bereits in einem vorausgegangenem Post festgestellt, dass sich die Frequenz eines Tons in einer Okatve genau verdoppelt. Die Oktave entspricht also einem Faktor 2. Möglicherweise interessiert es dich, wie groß 1 HT oder 1 Cent als Faktor eigentlich ist. Das kann man berechnen:   

Wenn man mit 1 beginnt und dies dann 12 Mal mit der Größe eines Halbtonschritts multipliziert, muss 2 rauskommen: eine Oktave. Mathematisch kann man das so ausdrücken:

1 · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT · HT = 2

oder kurz:

HT¹² = 2

Das kann man umformen in
HT = ¹²√2   (12. Wurzel aus 2)
und das ist 1,059463...

1 HT entspricht also einem Faktor von rund 1,06. Das heißt: Um die Frequenz eines Tons zu erhalten, der x Halbtonschritte höher als der ursprünliche Ton ist, muss man die Frequenz des ursprünglichen Tons x Mal mit 1,059463... multiplizieren. Beachte:

Um Halbtöne zu addieren, muss man die Frequenz multiplizieren.
Um Halbtöne zu subtrahieren, muss man die Frequenz dividieren.

Das liegt daran, das Intervalle mathematisch ein sogenanntes »logarithmisches« Maß darstellen. Bei einem »linearen« Maß wird bei gleichen Abständen in einem Diagramm ein bestimmter, immer gleicher Wert dazu addiert oder subtrahiert. Bei einem logarithmischen Maß wird ein Wert bei gleichen Abständen mit einen bestimmten, immer gleichen Betrag multipliziert oder dividiert. 

Für Cent kann man ganz ähnlich rechnen:

1 Cent¹²ºº = 2

1 Cent = ¹²ºº√2 (1200. Wurzel aus 2)
und das ist 1,0005777895...

---

Warum 12?

Warum teilt man eine Oktave eigentlich in 12 (Halbton)-Schritte? Warum nicht 10 – wäre mit 10 Fingern doch einfacher? Oder 7 – wie die verschiedenen Stufen einer Dur- oder Moll-Tonleiter? (Ja, es sind 7 verschiedene Stufen, denn die 8. entspricht ja wieder der 1. Stufe, nur eine Oktave höher.) Die Antwort darauf hat viel mit den Obertönen zu tun, die wir im letzten Post besprochen haben. Dazu müssen wir auch die geschichtliche Entwicklung betrachten. Vergessen wir also nun erst einmal unsere praktische gleichstufige Stimmung, denn die gibt es noch nicht so lange.

Begonnen hat wahrscheinlich alles, als Menschen festgestellten, dass es sich schön anhört, wenn bestimmte Töne zusammenpassen. Das ist sicher schon viele tausend Jahre her. Wir hatten ja bereits festgestellt, dass sich Obertöne in einem ganzzahligen Verhältnis zu ihrem Grundton befinden und dass es sich um so harmonischer anhört, je einfacher dieses Verhältnis ist. Erinnere dich an das Tortenteilen. Das haben die Menschen damals sicher auch schon bemerkt, auch ohne etwas von den physikalischen Hintergründen zu verstehen.

Entwicklung der Intervalle

Betrachten wir zunächst einmal die Obertöne und ihr Frequenzverhältnis. Im Diagramm sind bei (A) ein (beliebiger) Grundton und seine ersten 9 Obertöne aufgelistet. Sie sind als rote Striche auf der Frequenz-Achse eingezeichnet. Diese umfasst hier etwas mehr als 3 Oktaven (3600 Cent). Die Länge der Striche soll andeuten, dass die Obertöne zu den Höhen hin immer schwächer werden. Die jeweiligen Faktoren bezüglich der Frequenz des Grundtons sind ebenfalls zu jedem Oberton aufgeführt.

Uns interessiert jetzt allerdings nicht das Verhältnis der Obertöne zu ihrem Grundton, sondern viel mehr das Verhältnis der Obertöne untereinander. Wie wir sehen, werden die Obertöne zu den Höhen hin immer dichter. (B) zeigt das jeweilige Frequenz-Verhältnis eines Obertons zu seinem Vorgänger. Es entsteht eine regelmäßige Folge von Brüchen, die mit 2 (einer Oktave) beginnt. Die Brüche werden immer kleiner und kommen der 1 immer näher (erreichen sie aber nie). Diese Frequenz-Verhältnisse sind die Ausgangsbasis für die Intervalle.

Das folgende Diagramm zeigt nur noch 1 Oktave von 0 bis 1200 Cent. Die eben ermittelten Frequenz-Verhältnisse der ersten 5 Obertöne sind bei (C) vom Grundton ausgehend eingetragen (ich habe sie sozusagen zum Grundton hin verschoben). Wir stellen erstaunt fest, dass wir damit die Intervalle Oktave, Quinte, Quarte, große Terz und kleine Terz bestimmt haben.

Die folgenden Hörbeispiele beginnen immer mit dem Grundton (hier C), in den der jeweilige Intervall-Ton dann eingeblendet wird.

   reine Oktave (2:1)
   reine Quinte (3:2)
   reine Quarte (4:3)
   reine große Terz (5:4)
   reine kleine Terz (6:5)

Geht das vielleicht noch weiter so? Leider nein. Bei (D) siehst du, dass die Anbstände immer enger werden – zu eng für eine (normale) Tonleiter. Also überschlagen wir 7/6 und 8/7 (violett) und treffen auf 9/8. Das ist ein ausgezeichneter Kandidat für die große Sekunde, denn er ist vom Grundton exakt genauso weit weg wie die Quinte von der Quarte (orangefarbene Balken). Die kleine Sekunde können wir ganz ähnlich bestimmen: Bei 16/15 hat sie vom Grundton den gleichen Abstand wie die Quarte von der großen Terz (hellblaue Balken).

   überschlagenes reines Intervall (7:6)
   überschlagenes reines Intervall (8:7)
   reine große Sekunde (9:8)
   reine keine Sekunde (16:15)

Jetzt fehlt und nur noch die »rechte Hälfte«. Die passenden Intervalle erhalten wir bei (E), indem wir die bisher bestimmten Intervalle von der Oktave aus nach unten auftragen (grün):
Oktave – kleine Sekunde = große Septime (2/1 : 16/15 = 15/8)
Oktave – große Sekunde = kleine Septime (2/1 : 9/8 = 16/9)
Oktave – kleine Terz = große Sexte (2/1 : 6/5 = 5/3)
Oktave – große Terz = kleine Sexte (2/1 : 5/4 = 8/5)
Oktave - Quarte = Quinte (2/1 : 4/3 = 3/2)

   reine kleine Sexte (8:5)
   reine große Sexte (5:3)
   reine kleine Septime (16:9)
   reine große Septime (15:8)

Wie du siehst haben wir inzwischen den größten Teil der Intervalle mehr oder weniger regelmäßig verteilt. Nur in der Mitte klafft noch eine Lücke. Wenn wir von der Quarte aus eine kleine Sekunde nach oben abtragen und von der Quinte eine kleine Sekunde nach unten, dann treffen sich beide nicht an der gleichen Stelle, wie du bei (F) sehen kannst (blaue Striche und hellblaue Balken). Wenn man nachrechnet, wird man sich für 45/32 entscheiden, denn dieser Abstand kommt bereits vor:
große Septime – Quarte = Tritonus (15/8 : 4/3 = 45/32)

   Tritonus, übermäßige Quarte (45:32)
   Ges, verminderte Quinte (64:45)

Die reine Stimmung

Das Endergebnis kannst du nun bei (G) betrachten. Wir haben die Oktave nun von den Obertönen ausgehend in einigermaßen gleich große Teile zerlegt – und es sind genau 12! Da sind nun unsere 12 Halbtonschritte! Die Abstände der Intervalle sind allerdings nicht alle gleich. Wenn wir genauer hinsehen, stellen wir fest, dass es 3 verschiedene Abstandsgrößen gibt (hellblau, gelb und hellgrün).

»Diatonischer Halbton« (hellblau):
eine kleine Sekunde,
Größe: 16/15 = 111,731... Cent = ca. 112 Cent.

Großer chromatischer Halbton« (gelb):
der Abstand zwischen großer und kleiner Sekunde,
Größe: 9/8 : 16/15 = 135/128 = 92,179... Cent = ca. 92 Cent.

Kleiner chromatischer Halbton« (hellgrün):
der Abstand zwischen großer und kleiner Terz und Sexte,
Größe: 5/4 : 6/5 = 25/24 = 70,672... Cent = ca. 71 Cent.

Dass es genau 12 Schritte sind, ist also nicht von irgend Jemandem bestimmt worden, aber es ist auch kein Zufall. Es liegt im Wesen der Zahlen selbst. Würde man z.B. versuchen, die Oktave mittels der Obertöne in 10 oder 7 einigermaßen gleiche Teile zu teilen, wäre die Verteilung sehr viel unregelmäßiger als mit 12. Die 12 ist dafür eben die optimale Zahl (und sie ist ja auch sonst eine »freundliche« Zahl, weil sie sich so problemlos durch 2, 3, 4 und 6 teilen lässt).

Gehen wir jetzt einen Schritt weiter und verknüpfen die Intervalle mit Tönen. Fangen wir mit C auf der Prime an. Bei (H) siehst du, wie dann die Töne den Intervallen zugeordnet sind. Ich könnte jetzt wieder anmerken: Das geht natürlich auch von jedem anderen Ton aus, aber diesmal stimmt das nicht so ganz, wie wir noch sehen werden.

Bei genauerem Hinsehen können wir feststellen, dass es die »schwarzen Tasten«, also die Halbtöne zwischen C, D und E sowie G, A und H, fast alle als erniedrigte Töne notiert sind, also als Des, Es, As und B. Nur Fis macht die Ausnahme. Was ist denn mit den anderen erhöhten Tönen Cis, Dis, Gis und Ais? Und was mit dem Ges?

Die schwarzen Tasten

Schauen wir nochmals genauer bei (H) ins Diagramm. Der Abstand von Des zu D ist kleiner als der zu C. Das ist auch bei den anderen erniedrigten Tönen so. Beim Fis ist es im Prinzip genau umgekehrt. Daraus können wir schließen, dass Erhöhen und Erniedirgen offensichtlich immer der kleinere Schritt ist (gelb und grün) – nämlich ein chromatischer Halbton, mal ein großer, mal ein kleiner.

Nach diesem Muster können wir jetzt auch die noch fehlenden Töne bestimmen. Bei (I) sind sie statt der bisherigen eingezeichnet (schwarz). Wir sehen jetzt: C# ist nicht das Gleiche wie Db, D# nicht das Gleiche wie Eb usw. Bei der kleinen Sekunde, der kleinen Septime und dem Tritonus fällt es nicht so sehr auf, wenn man z.B. ein Db statt eines C# spielt, weil die beiden Gegenstücke noch relativ nah beieinander sind und diese Intervalle sowieso schon recht disharmonisch klingen. Bei der kleinen Terz und der kleinen Sexte liegen erhöhten Töne D# und G# allerdings ganz woanders als Eb und Ab – und das ist auch deutlich hörbar (vergleiche mit den oben stehenden Hörproben).

   Cis, übermäßige Prime (vergl. kleine Sekunde)
   Dis, übermäßige Sekunde (vergl. kleine Terz)
   Gis, übermäßige Quinte (vergl. kleine Sexte)
   Ais, übermäßige Sexte (vergl. kleine Septime)

Auf einem Tasteninstrument konnte man damals diese Töne nur dann spielen, wenn es umgestimmt wurde. Man sagt, Bach habe für sein Klavier nur 15 Minuten gebraucht. Bei einer Pfeifenorgel kann das allerdings eine tagelange Prozedur werden.

Halten wir fest

Bei einer reinen Stimmung kann man nicht einfach die Tonart wechseln. Eine reine Stimmung ist immer nur für die Tonart rein, auf die sie gestimmt wurde. Dadurch, dass wir hier im Diagramm mit C begonnen haben, haben wir die reine Stimmung in C angewandt. Man kann etliche Instrumente aber auch auf einen beliebigen anderen Ton rein stimmen, z.B. ein Klavier. Bei vielen Blasinstrumenten geht das allerdings nicht, weil viele Töne durch Überblasen erzeugt werden und die dabei erzeugten Obertöne fest vorgegeben sind und nicht gestimmte werden können. Auch deshalb gibt es viele Blasinstrumente in verschiedenen Tonarten z.B. B-Trompeten und D-Trompeten (und noch einige andere).

Vielleicht fragst du dich noch, warum es zwei verschieden große chromatische Halbtöne gibt (gelb und grün) und außerdem einen noch größeren diatonischen Halbton (blau). Das liegt daran, dass die Abstände zwischen den zugrunde liegenden Obertönen eben nicht gleich groß sind. Eigentlich ist es schon erstaunlich, dass es nur drei verschieden große Halbtöne sind.

Harmonie #03 - Vom Ton zum Klang

Musik wird oft nicht schön gefunden,

weil sie stets mit Geräusch verbunden.

Wilhelm Busch

Im ersten Post habe ich etwas darüber berichtet, wie eine Luftschwingung zu einem Ton wird. Ein Ton ist damit aber noch lange nicht musikalisch. Auch ein Presslufthammer erzeugt Töne. Aber andererseits ist es jedem Komponisten oder überhaupt Musiker selbst überlassen, welche Töne er passend für seine Musik empfindet. Denn schließlich kann man auch das Knattern eines Presslufthammers musikalisch verwerten.

Ich möchte hier auf keinen Fall eine Wertung treffen, wie: Harmonie = gut, Disharmonie = schlecht, Geräusche = Krach. Musik lebt von dem Spannungsbogen zwischen Harmonie und Disharmonie. Das Eine gibt's nicht ohne das Andere. Man könnte auch sagen: Disharmonie = leicht, Harmonie = schwer. Das ist zwar in soweit richtig, dass zum Erzeugen von Harmonie bestimmte Regeln eingehalten werden müssen (wie im richtigen Leben). Aber Disharmonien gezielt musikalisch einzusetzen ist genauso schwer, denn auch hierfür gibt es Regeln.

Die Mutter aller Wellen

Eine Schallwelle bzw. ein Ton oder Klang lässt sich in Bestandteile zerlegen. Diese Bestandteile sind sogenannte »Sinustöne« oder »Sinuswellen«. Sie sind die einfachsten Formen aller Wellen und sie lassen sich nicht weiter zerlegen. Alle Töne sind aus solchen Sinuswellen aufgebaut.

   Sinuston

Die Sinuswellen, aus denen ein Ton besteht, addieren sich zusammen zu einem Klang. Reine Sinustöne kommen in der Natur eigentlich nicht vor (man kann sie aber elektronisch erzeugen), der Kang einer Flöte (oder einer Stimmgabel) kommt dem noch am nächsten. Sinuswellen treten fast immer gemeinsam mit anderen Sinuswellen auf und deren unterschiedliche Kombinationen machen den spezifischen Klang eines Instruments aus.

Die verschiedenen Sinustöne eines Klangs nennt man »Teiltöne« oder »Partialtöne«. Der tiefste dieser Teiltöne – also der mit der niedrigsten Frequenz – ist der »Grundton«. Auf seine »Grundfrequenz« werden alle anderen Teiltöne bezogen.

Der Begriff »Grundton« steht hier in physikalischem Zusammenhang. In musikalischem Zusammenhang bedeutet »Grundton« etwas anderes (aber ähnliches – dazu in einem späteren Post mehr).

Obertöne

Nun gibt es ganz bestimmte Teiltöne, deren Frequenz – also Tonhöhe – ein ganzzahliges Vielfaches der Grundfrequenz ist. Das heißt anders ausgedrückt: Das sind die Wellen, von denen mehrere gleiche exakt in die Wellenlänge des Grundtons hineinpassen. Diese ganzzahligen Teiltöne sind besonders wichtig und man nennt sie »Obertöne« oder »die Harmonischen«.

Ein Beispiel:
Der Grundton eines Klangs hat eine Grundfrequenz von 440 Hz.
Dann sind die Obertöne diejenigen mit ganzzahligem Vielfachen von 440 Hz:
1. Oberton: 2 · 440 Hz = 880 Hz, es passen genau 2 Wellen in die des Grundtons
2. Oberton: 3 · 440 Hz = 1320 Hz, es passen genau 3 Wellen in die des Grundtons
3. Oberton: 4 · 440 Hz = 1760 Hz, es passen genau 4 Wellen in die des Grundtons
4. Oberton: 5 · 440 Hz = 2200 Hz, es passen genau 5 Wellen in die des Grundtons
usw.
n-ter Oberton = (n+1) · 440 Hz
(Der Faktor 2, 3, 4... ist immer 1 höher als die Nummer des Obertons 1., 2., 3.)

   Die ersten 19 Obertöne (alle gleich laut)

Warum sind diese Teiltöne so wichtig? Unser Gehirn ist faul und rechnet nicht gern kompliziert. Es ist einfacher durch 2 zu teilen als durch 7 oder gar 3,756812. Die einfachen Dinge empfindet unser Gehirn als angenehm und harmonisch. Deshalb empfindet es auch den 2. Oberton harmonischer als den 7.

Torten teilen...

Du kannst das daran nachvollziehen, indem du dir vorstellst, wie leicht oder schwer es einem fällt, eine Torte in gleich große Stücke zu teilen:

• Sie in 2 Stücke zu teilen ist ganz einfach.
• In 3 Stücke zu teilen ist schon etwas schwieriger.
• Das Teilen in 4 Stücke ist wieder etwas einfacher, liegt also zwischen 2 und 3.
• 5 Stücke ist nicht mehr so einfach.
• 6 ist wieder einfacher als 5.
• 7 ist schon schwierig.
• 8 wieder ziemlich einfach usw.

Wenn wir das so hintereinander schreiben, dass wir mit dem Einfachsten beginnen, erhalten wir die Reihe 2, 4, 8, 3, 6, 5, 7,... Und genau so empfinden wir auch: Der Oberton mit dem Faktor 2 (also der 1. Oberton) ist am harmonischsten zu seinem Grundton und dann wird es Schritt für Schritt weniger harmonisch: Faktor 4, 8, 3 usw.

...und zusammenfügen

Die Wellen des Grundtons und der Obertöne addieren sich zu einer neuen Wellenform, deren Frequenz die des Grundtons ist. Dabei können die Wellen der einzelnen Teiltöne auch gegeneinander verschoben sein. Das ändert den Klang nicht – zumindest nicht, solange sich das Maß der Verschiebung nicht während des Klangs ändert.

Obertonspektrum

Das »Obertonspektrum« macht den Klang eines Instruments aus. Der einer Flöte ist hat wenig Obertöne, der einer akkustischen Gitarre mehr. Ein Posaunenklang hat viele Obertöne, man sagt ein »reiches Obertonspektrum«. Das Obertonspektrum hat aber auch großen Einfluss darauf, wie harmonisch wir zwei Töne empfinden, die zusammen erklingen. Umso mehr gleiche Grund- und Obertöne sie haben, desto harmonischer klingen sie zusammen.

Obertonspektren von typischen Synthesizer-Tonerzeugern (Oszillatoren):

Die Dreieckwelle ist sehr obertonarm und kommt damit einer Sinuswelle sehr nahe.

Die Sägezahnwelle enthält alle Obertöne, die zu den Höhe hin immer schwächer werden.

Die Rechteckwelle enthält nur jeden zweiten Oberton.

Nicht-harmonische Teiltöne

Teiltöne, die in keinem ganzzahligen Verhältnis zum Grundtons stehen, sind gar nicht mehr harmonisch. Aber auch solche kommen durchaus in Instrumenten-Klängen vor. Ein Gong erzeugt beispielweise neben den harmonischen Obertönen auch eine ganze Reihe Teiltöne, die nicht harmonisch sind, aber ganz spezifisch für den Klang eines Gongs.

Auch die Zeit spielt eine Rolle

Die Teiltöne eines Klangs sind nicht alle gleich laut. Manche treten schwächer hervor, manche stärker, sogar manchmal stärker als der Grundton. Manche sind gar nicht vorhanden. Oft ist es allerdings so, dass die Teiltöne umso leiser sind, desto weiter sie vom Grundton entfernt sind.

Außerdem verändert sich das Obertonspektrum während der Klang erklingt. Die Teiltöne verklingen unterschiedlich schnell. Die hohen Teiltöne, die das Anreißen einer Gitarrensaite erzeugt, verklingen im Bruchteil einer Sekunde, während der eigentliche Ton – das sind hier Grundton und die weniger hohen Obertöne – langsam verklingt.

Geräusche

Neben den harmonischen Obertönen und den nicht harmonischen Teiltönen gibt es außerdem noch Geräusche. Auch sie setzen sich im Prinzip aus Sinuswellen zusammen, aber diese verändern sich so schnell und mehr oder weniger zufällig, dass wir keinen Ton empfinden. Das neutralste Geräusch ist ein sogenanntes »weißes Rauschen«. Das ist ein rein zufälliges Wellenmuster. Es gibt auch »rosa Rauschen« und »rotes Rauschen«, bei denen die Lautstärke zu den hohen Frequenzen hin unterschiedlich stark abnimmt.

Weißes Rauschen


Vom Weißen über Rosa bis Rotes Rauschen

Auch Geräusche gehören zum Klang, wie etwa das Geräusch des Anblasens einer Flöte. Auch das Zischen eines Beckens gehört mit dazu genauso wie die Verzerrungen bei einer verzerrten Gitarre – eigentlich auch das Klappern der Klaviertasten. Viele Schlag- und Percussion-Instrumente machen hauptsächlich Geräusche.

Bestandteile eines Klangs

Halten wir nun also fest, wir haben vier Bestandteile, aus denen sich ein Klang zusammensetzt: 

•  Grundton
•  harmonische Obertöne
•  andere, nicht harmonische Teiltön
•  Geräusche

Schwebungen

Wenn man zwei exakt gleiche Sinustöne gleicher Lautstärke zusammen spielt, ist es nicht gesagt, dass sich damit die Lautstärke verdoppelt. Das ist nur dann der Fall, wenn die beiden Wellen auch exakt gleichzeitig beginnen oder, anders ausgedrückt, im Diagramm exakt gleichzeitig die Nulllinie in der gleichen Richtung kreuzen. Man sagt, dass die Wellen »gleichphasig« sind oder die gleiche »Phasenlage« haben. In allen anderen Fällen ist es leiser, weil sich ein Teil der beiden Wellen gegenseitig auslöscht. Das geht soweit, bis man gar nichts mehr hört, wenn die beiden Wellen zwar wieder exakt gleichzeitig die Nulllinie kreuzen aber in verschiedener Richtung. (Dann kommt beim Addieren der beiden Wellen nämlich immer Null heraus.) Dann haben sie entgegengesetzte Phasenlagen.

Wenn man einen von zwei gleichen Tönen ein wenig verstimmt, entsteht eine sogenannte »Schwebung«. Man hört, wie sich der Klang periodisch verändert. Das liegt daran, dass auch hier Teile der beiden Wellen sich manchmal gegenseitig verstärken und manchmal gegenseitig auslöschen. Das ändert sich allerdings periodisch.

Auf der Abbildung hat die blaue Welle eine etwas höhere Frequenz als die grüne. Zuerst beginnen beide Wellen in gleicher Phasenlage, doch mit der Zeit verschiebt sich die Phasenlage der einen Welle zur anderen, weil sie ja nicht exakt gleich lang sind. Die Phasenlage verschiebt sich solange, bis sie entgegengesetzt ist. Dann kehr sich das Ganze um, bis die Wellen wieder gleiche Phasenlage haben. Das Ganze beginnt von vorn und als Ergebnis entsteht die orangefarbene Welle.

Die Geschwindigkeit der Schwebung wird durch die Differenz der Frequenzen der beiden Töne bestimmt. Wenn beide Töne exakt gleich sind, ist die Differenz null und man hört keine Schwebung. Wenn man nur ein klein wenig verstimmt, ist die Schwebung zuerst langsam. Sie wird aber immer schneller, je weiter man verstimmt.

   Verstimmen zweier Sinuswellen

Bei Sinuswellen hört man deutlich das Laut- und Leiserwerden der Schwebung. Wenn mann dagegen zwei Sägezahnwellen gegeneinander verstimmt, gibt es kaum eine Änderung in der Lautstärke. Stattdessen verändert sich der Klang. Das liegt daran, dass auch die Obertöne verschoben werden, allerdings jeder in einem anderen Frequenzverhältnis. Dadurch kommt es nicht mehr zu Komplett-Auslöschungen, sondern nur zu Auslöschungen einzelner Obertöne. Bei Keyboard und Gitarre kennt man das als »Chorus-Effekt«.

   Verstimmen zweier Sägeszahnwellen

Irgendwann wird es schneller als man wahrnehmen kann und man hört ein unsauberes, unharmonisches Brummen. Das Brummen liegt daran, dass die Schwebung selbst zu einem wahrnehmbaren Ton wird, wenn sie schneller als 20 Mal pro Sekunde ist. Denn dann tritt sie mit 20 Hz von unten in den Hörbereich unseres Ohres ein und wird als tiefer Ton hörbar. In den meisten Fällen steht dieser Ton aber in keinem harmonischen Verhältnis zu den beiden anderen Tönen. Der Gesamtklang wird rauh und unsauber – es klingt schief.

Obertöne in der Praxis

Es gibt musikalische Richtungen, in denen es besonders auf Obertöne ankommt, z.B. Obertonsingen, bei dem man bestimmte Obertöne durch die Form des Mundes und der Zunge verstärkt. Auch beim australischen Didgeridoo kommt es auf die Obertöne an. Im musikalischen Zusammenhang, insbesondere im gesanglichen, nennt man Obertonspektren auch oft »Formanten«.

Bei vielen Blasinstrumenten, sind die Obertöne noch auf ganz andere Weise wichtig. Durch verstärktes Hineinblasen springt der Ton sozusagen die Obertonreihe hinauf. Man nennt das »Überblasen«, Obertöne nennt man in diesem Zusammenhang auch »Naturtöne«. Manche Töne können insbesondere auf Hörnern, Trompeten und Posaunen nur auf diese Weise gespielt werden.

Auch im Zusammenspiel – z.B. in einer Band – sollte man die Obertöne der verschiedenen Instrumente im Hinterkopf behalten, wenn man einen ausgewogenen Sound haben möchte. Zwei Intrumentensounds mögen zwar jeder für sich gut klingen und auch »von den Noten her« zueinander passen, dennoch können sie sich beißen, wenn ihre Obertonspektren nicht zusammenpassen.

Auch für Schwebungen sollte man ein empfindliches Ohr haben. Oft sind sie gewollt und machen den Sound voluminöser, es klingt als würden aus einer Stimme viele. Oft sind sie aber auch ungewollt. Ein verzerrte Gitarre klingt erst dann richtig straight, wenn sie auf die gespielte Tonart »rein« gestimmt wird. Zu viele Schwebungen machen den Sound matschig. Dazu muss die Gitarre aber umgestimmt werden, wenn man eine andere Tonart spielt. (Das ist mit ein Grund, warum manche Gitarristen mehrere Gitarren auf der Bühne stehen haben.)

Ende der Reihe

Die Obertonreihe hat zwar kein Ende – sie kriecht sozusagen der Unendlichkeit entgegen, da die Abstände immer kleiner werden –, sie ist aber dennoch begrenzt, und zwar durch unser Ohr. Irgendwann wandern die Obertöne nämlich aus dem Hörbereich hinaus. Daraus folgt, dass man in der letzten hörbaren Oktave keine Klänge mehr unterscheiden kann – höchstens noch an den mit dem Klang verbundenen Geräuschen.

Mit diesem Post werden wir uns von der Physik erst einmal verabschieden. Das nächste Post wird bald folgen, es ist schon fast fertig. Wir werden uns dort mit den Grundbausteinen der Harmonielehre beschäftigen: den »Intervallen«. Bis dahin viel Spaß und immer den rechten Oberton!
 

Keyboard #04 - Akkord-Automatik

Keyboard Akkord-Automatik

Dein Keyboard besitzt eine Akkord-Automatik. Wenn sie eingeschaltet ist, wird die Tastatur automatisch geteilt. Wenn du den Splitpunkt nicht anders eingestellt hast (sh. Keybaord #03) ist er standardmäßig auf F#2 (Taste 54) eingestellt. Du hast also links 1½  Oktaven Platz für die Automatik.

Akkord-Automatik ein- und ausschalten:
{STYLE}  (STYLE CONTROL)  [ACMP ON/OFF]

Die Akkord-Automatik kann auf verschiedene Weisen benutzt werden: mit und ohne Begleit-Automatik.

Mit Begleit-Automatik

Wenn du links eine oder mehrere Tasten drückst, erklingt eine komplette Begleitung. Da es hier aber nicht um die Begleit-Automatik geht sondern um die Akkord-Automatik, hier nur kurz die wichtigsten Funktionen der Begleit-Automatik. (Das Thema folgt in einem späteren Post.)

Begleit-Automatik ein- und ausschalten (zusätzlich Akkord-Automatik einschalten):
{STYLE}  (STYLE CONTROL)  [START/STOP]

Sync-Start ein- und ausschalten (Begleitung automatisch starten, sobald du links zu spielen beginnst):
{STYLE}  (STYLE CONTROL)  [SYNC START]

Style der Begleitung auswählen:
{STYLE} <Style>

Geschwindigkeit einstellen:
[TEMPO/TAP]  <Geschwindigkeit>
Die Geschwindigkeit wird in Schläge pro Minute (BPM - beats per minute) angegeben. Sie kann – wenn  ich es recht verstanden habe – auch eingetappt werden, das heißt: du tippst [TEMPO/TAP] ein paar Mal in der gewünschten Geschwindigkeit an.

Ohne Begleit-Automatik 

Wenn du links eine oder mehrere Tasten drückst, erklingt ein ganzer Akkord. Wenn stattdessen die Begleit-Automatik startet, schalte sie erst einmal ab (siehe oben). Das Verständnis der hier beschriebenen Akkord-Automatik ist die Grundlage für später, wenn du mit Begleit-Automatik spielst.

Die Ein-Finger Akkord-Automatik

Diese Spielweise kennst du ja bereits.
• Du drückst den Grundton des gewünschten Akkords und er erklingt in Dur.
• Wenn du gleichzeitig die nächst tiefere schwarze Taste mitdrückst, erklingt ein Moll-Akkord.
• Ein sogenannter Dominant-Sept-Akkord erklingt, wenn du gleichzeitig die nächst tiefere weiße Taste drückst.
• Du kannst schwarz und weiß auch kombinieren und erhältst einen Moll-Sept-Akkord.

Das war's auch schon. (Bei Ein-Finger-Automati ist es übrigens günstig, das C und das C# nicht ganz links am Rand zu spielen, denn dort kann man nicht einfach Moll oder Sept daraus machen.) Es gibt aber noch viel mehr Akkorde und etliche davon kannst du auch über die Akkord-Automatik deines Keyboards spielen. Du solltest dich also mit und mit umstellen und die Ein-Finger-Automatik irgendwann nicht mehr benutzen.

Akkorde

Als Akkorde bezeichnet man es, wenn mehrere Töne zusammen erklingen. Das muss nicht unbedingt gleichzeitig sein, sie können auch hintereinander erklingen. Wichtig ist, dass sie in einem Zusammenhang stehen. Eigentlich ist es auch schon ein Akkord, wenn nur zwei Töne zusammen erklingen, aber man spricht normalerweise erst ab drei Tönen von einem Akkord.

Die einfachsten und wichtigsten Akkorde sind der Dur- und Moll-Dreiklang. Beide bestehen aus drei Tönen im Abstand von zwei Terzen, z.B. C-Dur: C - E - G. Von C nach E ist es eine große Terz, von E nach G eine kleine. Anders bei Moll, z.B. A-Moll: A - C - E. Von A nach C ist es eine kleine Terz, von C nach E eine große. Außerdem gibt es noch »verminderte« Akkorde aus zwei kleinen Terzen und »übermäßige« aus zwei großen. Also:

Dur: große Terz + kleine Terz

Moll: kleine Terz + große Terz
Vermindert: kleine Terz + kleine Terz
Übermäßig: große Terz + große Terz

Den tiefsten Ton der ersten Terz nennt man »Grundton«. Bei C - E - G ist beispielsweise C der Grundton, bei A - C - E ist es A.

Und dann gibt es auch noch Vierklänge. Die entstehen, wenn man einem Dreiklang noch einen weiteren Ton hinzufügt. Du kennst wahrscheinlich schon den Dominant-Sept-Akkord, z.B. G7. Er entsteht, wenn man einem G-Dur Akkord als weiteren Ton das F hinzufügt. (Der Abstand zwischen G und F ist eine Septime, deshalb Sept-Akkord.) Es gibt übrigens viel mehr Vierklänge als Dreiklänge.

Und bei jedem dieser Drei- und Vierklänge gibt es außer der beschriebenen »Grundform« noch zwei oder mehr sogenannte »Umkehrungen«. Eine Umkehrung entsteht, wenn man den untersten Ton wegnimmt und oben wieder ansetzt. Aus C - E - G wird dann beispielsweise E - G - C. Das ist dann die 1. Umkehrung. Das kann man nochmals machen, aus E - G - C wird dann G - C - E. Das ist dann die 2. Umkehrung. Eine weitere gibt es bei einem Dreiklang nicht, denn damit kommt man wieder bei der Grundform C - E - G an. Das Umkehren ändert übrigens nichts am Grundton des Akkords. Dieser wird immer über die Grundform bestimmt.

Akkord-Automatik mit gegriffenen Akkorden

Der Unterschied zur Ein-Finger-Automatik ist, dass du nicht mehr nur den Grundton und wenn nötig eine weitere »Hilfstaste« drückst, sondern stattdessen den ganzen Akkord – also mindestens drei Tasten.

Manche Keyboards muss man von Hand entsprechend schalten, ob man mit Ein-Finger-Automatik (»Single«) oder mit gegriffenen Akkorden (»Fingered«) spielen möchte. Einen solchen Schalter habe ich in der Bedienungsanleitung deines Keyboards nicht gefunden. Daher nehme ich an, dass es von selbst merkt, ob du gerade im Ein-Finger-System oder ganze Akkorde spielst. Du kannst also so oder so spielen, ohne etwas umschalten zu müssen.

Es gibt eine ganze Menge Akkorde – mehrere 100! – ürigens auch Fünf- und Nochmehr-Klänge. Aber wir sollten uns hier auf diejenigen beschränken, die dein Keyboard versteht und spielen kann. Und das sind auch schon ziemlich viele.

Aber es gibt auch eine gute Nachricht: Wenn du mit der Akkord- oder Begleit-Automatik spielst, ist es eigentlich egal, welche Umkehrung du greifst. Die Automatik spielt trotzdem das Selbe – allerdings mit etlichen Ausnahmen: Manche Umkehrungen sind gar nicht erlaubt, weil sie von der Automatik anderen Akkorden zugeordnet werden. Auf der sicheren Seite bist du, wenn du alle Akkorde in der Grundform spielst. Das hat aber den Nachteil, dass du mit der linken Hand viel hin und her hüpfen musst. Deshalb solltest Du zumindest die wichtigsten Umkehrungen kennen, die sich oft einfacher greifen lassen. 

Aber Achtung: Das gerade Gesagte betrifft nur die Automatik. Wenn du ohne Automatik spielst, ist es unbedingt wichtig, welche Umkehrung eines Akkords du greifst!

Im Folgenden habe ich einmal aufgelistet, welche Akkorde dein Keyboard allein mit dem Grundton C bereits kennt. (Möglicherweise sind es auf deinem sogar noch mehr, ich habe das nur auf meinem Yamaha Keyboard ausprobiert). Diese Akkorde gibt es natürlich auch für die anderen 11 Grundtöne von C# bis H. Aber keine Angst! Du musst das nicht auswendig lernen, es steckt nämlich ein System dahinter.

Und hier das Ganze nochmals in Noten...

Anmerkung:
Du wirst in diesem Blog nicht allzu viele Noten sehen, denn erstens geht es hier nicht ums Notenlesen – obwohl das natürlich auch sehr wichtig ist! Zweitens ist das Meiste, was ich schreibe, unabhängig von bestimmten Tönen, es lässt sich also auf jede Tonart anwenden. Und drittens ist es für mich recht mühselig, das hier in Noten zu notieren.

C-Akkorde

Im Violinschlüssel sind in jedem Takt die Akkorde in der Grundform und in allen Umkehrungen notiert. Bei Dreiklängen gibt es nur die 1. und 2. Umkehrung, bei Vierklängen auch die 3.

Im Bassschlüssel sind die Akkorde so notiert, wie sie mit der Akkord-Automatk gegriffen werden können. Die Umkehrungen, die hier nicht angegeben sind (Pause-Zeichen), sind nicht möglich – manche gehen über den Splitpunkt F#2 der linken Tastaturhälfte hinaus, andere sind anderen Akkorden mit anderem Grundton zugeordnet.

Das da unten ist nun kein »Stück«, das du im 4/4-Takt nachspielen sollst. Suche Takt für Takt und Viertel für Viertel die im Violinschlüssel notierten Akkorde mit der rechten Hand, um festzustellen, aus welchen Tönen sie bestehen. Greife dann (bei eingeschalteter Automatik) den gleichen Akkord mit der linken Hand – nur zwei Oktaven tiefer, so wie im Bassschlüssel notiert. Beachte, dass die Vorzeichen # und b immer bis zum Ende des jeweiligen Taktes gelten. Höre genau hin, ob du die Töne der rechten Hand im Akkord der linken wiederfindest. Du kannst auch deutlich hören, wenn du links eine nicht erlaubte Umkehrung greifst.

Das System

Das System kannst du erkennen, wenn du dir die Grundformen der Akkorde in der Tabelle oben genauer anschaust.

Da gibt es zunächst immer einen Dreiklang als Basis. Das kann ein Dur- oder Moll-Dreiklang sein, aber auch andere. Man kann am Abstand der drei Töne voneinander die folgenden Formen unterscheiden. Zur Verdeutlichung gebe ich hier außer dem Namen der »Intervalle« (des Abstände), wie Terz oder Sekunde, auch den Abstand in Halbtonschritten an, wie du ihn in der Tabelle zwischen den Tönen abzählen kannst.

__________________________________________________________________________

• Dur-Akkord

große Terz (4 HT) + kleine Terz (3 HT) = Quint (7 HT)

Beispiel: C: C - E - G oder A: A - C# - E

• Moll-Akkord

kleine Terz (3 HT) + große Terz (4 HT) = Quint (7 HT)

Beispiel: Cm: C - Eb - G oder Am: A - C - E

• Akkord mit Sekund-Vorhalt

große Sekunde (2 HT) + Quart (5 HT) = Quint (7 HT)

Beispiel: Csus2: C - D - G oder Asus2: A - H - E

• Akkord mit Quart-Vorhalt

Quarte (7 HT) + große Sekunde (2 HT) = Quint (7 HT)

Beispiel: Csus4: C - F - G oder Asus4: A - D - E

• Verminderter Akkord

kleine Terz (3 HT) + kleine Terz (3 HT) = verminderte Quint (6 HT)

Beispiel: Cmb5: C - Eb - Gb oder Amb5: A - C - Eb oder Hmb5: H - D - F  (einziger mit nur weißen Tasten)

• Übermäßiger Akkord

große Terz (4 HT) + große Terz (4 HT) = übermäßige Quint (8 HT)

Beispiel: C+: C - E - G# oder A+: A - C# - F  (eigentlich A - C# - E#)

__________________________________________________________________________

Diese sechs Varianten musst du lernen, insbesondere die Abstände der Töne voneinander. Leider ergibt sich nicht von jedem Grundton aus das selbe Muster aus weißen und schwarzen Tasten. Aber das musst du sowieso lernen, wenn du auch mit der linken Hand spielen können willst.

Jetzt können wir die Dreiklänge zu Vierklängen erweitern, indem wir einen zusätzlichen Ton hinzufügen. Den Abstand dieses Tons messen wir immer vom Grundton des Dreiklangs aus. Da gibt es drei Varianten:

__________________________________________________________________________

• Mit zusätzlicher großer Sexte (9 HT)

geht bei: Dur, Moll und Vermindert

Beispiel: C6: C - E - G - A oder Cm6: C - Eb - G -A oder A6: A - C# - E - F# oder C°: C - Eb - Gb - A

• Mit zusätzlicher kleiner Septime: Sept-Akkord (10 HT)

geht bei: Dur, Moll, Quart-Vorhalt, Vermindert und Übermäßig (bei allem außer Sekund-Vorhalt)

Beispiel: C7: C - E - G - Bb oder Cm7: C - Eb - G - Bb oder A7sus4: A - D - E - G oder A7#5: A - C# - F - G

• Mit zusätzlicher großer Septime: Major-Sept-Akkord (11 HT)

geht nur bei: Dur und Moll

Beispiel: Cmaj7: C - E - G - H oder Cmmaj7: C - Eb - G - H oder Amaj7: A - C# - E - G# oder Ammaj7: A - C - E - G#

Außerdem gibt es noch eine Besonderheit:

• Dur-Sept-Akkord mit verminderter Quint

große Terz (4 HT) + große Sekunde (2 HT) + große Terz (4 HT) = kleine Septime (10 HT)

Beispiel: C7b5: C - E - Gb - Bb oder A7b5: A - C# - D# - G

__________________________________________________________________________

Hier das Ganze nochmals als tabellarische Übersicht

Schaue dir die Zusammenhänge auch in der C-Akkord-Tabelle an. Probiere, das System anhand von C nachzuvollziehen. Probiere auch andere Tonarten aus, z.B. A, F oder G. Die Tabelle kannst du übrigens hier als PDF-Datei downloaden: [Keyboard-04-C-Akkorde.pdf]

Tipps zum Üben

Das sind jetzt eine Menge Akkorde und wahrscheinlich ist es Neuland für dich. Ich empfehle dir, Schritt für Schritt vorzugehen und erst einmal die wichtigsten Akkorde zu lernen. Du kannst dich immer weiter voran tasten. Wenn du neue Stücke einübst, übe sie am besten direkt mit gegriffenen Akkorden.

Mache dir Notizen in deine Partitur, falls du einen Akkord in einer Umkehrung greifen musst (oder möchtest). Dafür gibt es sogar eine gängige Methode: Man schreibt mit einem Schrägstrich getrennt den tiefsten Ton dahinter, falls es nicht der Grundton sein soll. Man nennt das »Slash-Notation«. Ein Beispiel:

• In deiner Partitur steht A7. In der Grundform wäre das A - C# - E - G.
• Weil das in der Grundform gegriffen über den Splitpunkt hinaus geht, möchtest du die 3. Umkehrung greifen, mit dem G als tiefstem Ton, also G - A - C# - E.
• Du ergänzt das in deiner Partitur zu A7/G.

Die Slash-Notation ist eigentlich dazu gedacht, aufschreiben zu können, wenn mit der rechten Hand ein Akkord gegriffen wird, mit der linken aber ein anderer Grundton, z.B. C/D: Rechts greife ich einen C-Dur-Akkord und links nur den Ton D (eventuell in einer Oktave gedoppelt). Wenn der Ton hinter dem Slash (Schrägstrich) bereits im Akkord vor dem Slash enthalten ist, wird damit die Umkehrung festgelegt. Ich denke, wir sollten auch Umkehrung im Akkord-Automat so aufschreiben, obwohl die Slash-Notation nicht für Automaten gedacht ist, aber so ist es eine einheitliche Form.

Wenn du die Akkorde systematisch einüben möchtest, kannst du hier noch eine PDF-Datei downloaden, in der die wichtigsten Akkorde in 10 Schritten aufgelistet sind: [Keyboard-04-Wichtige-Akkorde.pdf]